学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形ABCD中，，垂足为，若，则AD的长为 ▲.他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为，垂足为，那么在四边形ABCD中有四个直角三角形，利用勾股定理可得"小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来与之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．

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1. 学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则AD的长为 ▲.

他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，那么在四边形ABCD中有四个直角三角形，利用勾股定理可得

$\text{[math]}$ "小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．

(1) 请你直接写出AD的长.

(2) 如图2，分别在△ABC的边BC和边AB上向外作等腰Rt $\text{[math]}$ 和等腰Rt $\text{[math]}$ ，连接PC，PQ.

①若AC=4，BC=8，连接AQ，交PC于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求PQ的长；

②如图3，AB=10，BC=8， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

三角形的面积; 勾股定理; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题困难

1. 阅读与思考

如图 1 所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，如何求三角形 $\text{[math]}$ 钢架的面积?下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求 $\text{[math]}$ 的面积.

(1) 甲同学：我们知道，已知 $\text{[math]}$ 的三边长 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 周长的一半，那么利用海伦公式 $\text{[math]}$ 就可求出 $\text{[math]}$ 的面积.

(2) 乙同学：如图 2 ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设BD=x米，然后用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示出 $\text{[math]}$ ，根据勾股定理，利用 $\text{[math]}$ 作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出 $\text{[math]}$ 的长，再计算 $\text{[math]}$ 的面积.

实践探究题普通

2. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $\text{[math]}$ ，那么三角形的面积为 $\text{[math]}$ ．

【解决问题】：已知如图1在△ABC中，AC＝4，BC＝5，AB＝7．

(1) 请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．

(2) 除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；

(3) 求△ABC中AC边上的高与AB边上的高的积。

实践探究题普通

(1) 问题初探

综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，在四形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E ， F ，分别在边AB ， AD上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段BE ， DF ， EF之间的数量关系，并证明．小明同学发现，如图2，在AB延长线上截取 $\text{[math]}$ ，连接CG ．通过两次证明，证明三角形全等，可以解决问题．

请你直接写出（1）中的结论．

(2) 类比分析

李老师发现同学们运用了转化思想，构造全等三角形解决问题：为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面问题，请你解答．

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，E在边AB上，且 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段AD ， BE ， DE之间的数量关系，并证明．

(3) 学以致用

如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边AB上，用等式表示线段AD ， BD ， CD之间的数量关系，并证明．

实践探究题困难