已知正项数列中，，前项和为，且 ▲ ．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．条件：①；② ．

1. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 ▲ ．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．

条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

【考点】

等差数列概念与表示; 等差数列的通项公式; 数列的递推公式; 数列的通项公式; 数列的前n项和;

【答案】

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解答题普通

1. 记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ____.给出下列两个条件：条件①：数列 $\text{[math]}$ 和数列 $\text{[math]}$ 均为等比数列；条件②： $\text{[math]}$ .试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 记正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 若无穷数列 $\text{[math]}$ 满足以下两个条件，则称该数列为 $\text{[math]}$ 数列.

① $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

②若存在某一项 $\text{[math]}$ ，则存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，写出所有 $\text{[math]}$ 数列的前四项；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 数列是否为等差数列，请说明理由；

(3) 在所有的 $\text{[math]}$ 数列中，求满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题普通

3. 已知数列 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的数列 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 证明： $\text{[math]}$ ，

使得 $\text{[math]}$ .

解答题困难