如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．

1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．

(1) 若弧AC度数是36°，求∠BGD的度数．

(2) 求证：∠BGD＝∠BGF．

【考点】

垂径定理; 圆心角、弧、弦的关系; 圆周角定理; 圆内接四边形的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．

（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；

（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．

解答题普通

2. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，点A在 $\text{[math]}$ 上，点B为线段 $\text{[math]}$ 中点，过点B作 $\text{[math]}$ 垂线l．点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，点P关于直线l的对称点为 $\text{[math]}$ ，试探究点 $\text{[math]}$ 的轨迹．

【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点 $\text{[math]}$ 在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：

证明：

证明过程缺失

∴点 $\text{[math]}$ 在以点______为圆心，______为半径的圆上．

（1）请你补全证明中的缺失过程．

【结论应用】（2）如图②， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，点A与点C在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ．点B为线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线l．点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，点P关于直线l的对称点为 $\text{[math]}$ ．当点P从点A运动到点C时，点 $\text{[math]}$ 的运动路径长为______．

【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“ $\text{[math]}$ ”去掉，其它条件不变， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 直径．点D到点 $\text{[math]}$ 距离d的取值范围是______．

解答题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，设该抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在该抛物线上，且当 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难