如图，在正方形ABCD中，是对角线BD上任意一点，连接AE并延长交BC的延长线于点，交CD于点.

1. 如图，在正方形ABCD中， $\text{[math]}$ 是对角线BD上任意一点，连接AE并延长交BC的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交CD于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求GF的长.

【考点】

三角形的外角性质; 等腰三角形的判定与性质; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS; 解直角三角形—边角关系;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间的部分与线段 $\text{[math]}$ 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段 $\text{[math]}$ 称为碟宽，顶点 $\text{[math]}$ 称为碟顶．

(1) 由定义知，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系是．

(2) 抛物线 $\text{[math]}$ 对应的准蝶形必经过 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，对应的碟宽 $\text{[math]}$ 是．

(3) 抛物线 $\text{[math]}$ 对应的碟宽在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ．

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为锐角，若有，请求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．若没有，请说明理由．

解答题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D，E分别在边AB，AC上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

解答题普通

3. 在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC．ED与直线BC交于点D，ED＝EC．

(1) 如图1，AB＝1，点E是AB的中点，求BD的长；

(2) 点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；

(3) 点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形．

解答题普通