如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒。图1 图2

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1. 如图1，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在数轴上表示的数分别为 $\text{[math]}$ 和10，若有一动点 $\text{[math]}$ 从数轴上点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒。

图1 图2

(1) 解决问题：

若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，线段 $\text{[math]}$ 的长度是否发生变化？请说明理由；

(2) 探索问题：

当点 $\text{[math]}$ 运动的同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动。

①在运动过程中，点 $\text{[math]}$ 表示的数为_▲_，点 $\text{[math]}$ 表示的数为_▲_.

②求运动多少秒时，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 相距3个单位长度？

(3) 知识迁移：

如图2，若线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针， $\text{[math]}$ ，在时针与分针转动过程中，经过分钟后， $\text{[math]}$ 的度数第一次等于 $\text{[math]}$ 。

【考点】

线段的中点; 一元一次方程的实际应用-几何问题; 线段的和、差、倍、分的简单计算; 钟面角;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【新知理解】如图①，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，图中共有三条线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的 $\text{[math]}$ 倍，则称点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的“巧点”．

(1) 线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的巧点，则 $\text{[math]}$ 最长为 $\text{[math]}$ ；

(3) 【解决问题】如图②，已知 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 匀速移动；点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 匀速移动，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的巧点？说明理由．

实践探究题困难

2. 【概念学习】点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上的“分点值”，记作 $\text{[math]}$ ．例如，如图1，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上的“分点值”是 $\text{[math]}$ ，记作 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，故点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上的“分点值”是 $\text{[math]}$ ，记作 $\text{[math]}$ ．

(1) 【理解与应用】已知点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点分别从点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的速度同时向点 $\text{[math]}$ 运动，运动的时间为 $\text{[math]}$ ，当其中一点到达点 $\text{[math]}$ 时，两点都停止运动．

①若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时，总有 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的值；

②若 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ．

实践探究题困难

3. 小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：

如图1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(1) 根据题意，小明求得 $\text{[math]}$ ．

(2) 小明在求解（1）的过程中，发现 $\text{[math]}$ 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．

①如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ．

②如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的三等分点，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 等分点，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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