英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

1. 英国数学家泰勒发现了如下公式：

$\text{[math]}$

其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数， $\text{[math]}$ .以上公式称为泰勒公式.设 $\text{[math]}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极小值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

奇偶性与单调性的综合; 利用导数研究函数的单调性; 函数在某点取得极值的条件; 利用导数研究函数最大（小）值; 基本不等式在最值问题中的应用; 反证法与放缩法;

【答案】

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解答题困难

1. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是 $\text{[math]}$ ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 $\text{[math]}$ ；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 $\text{[math]}$ ；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.

现取半径为 $\text{[math]}$ 的圆形纸片，定点 $\text{[math]}$ 到圆心 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，按上述方法折纸.以向量 $\text{[math]}$ 的方向为 $\text{[math]}$ 轴正方向，线段 $\text{[math]}$ 中点为原点建立平面直角坐标系.

(1) 求折痕围成的椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 做椭圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并确定此时点 $\text{[math]}$ 的坐标.

注：椭圆： $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 处的切线方程是： $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值集合.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题普通