如图，A ， B ， C是⊙O上的三点，且AB＝AC ， BC＝8，点D为优弧BDC上的动点，且cos∠ABC＝．

1. 如图，A ， B ， C是⊙O上的三点，且AB＝AC ， BC＝8，点D为优弧BDC上的动点，且cos∠ABC＝ $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若∠BCD＝∠ACB ，延长DC到F ，使得CF＝CA ，连接AF ，求证：AF是⊙O的切线；

(2) 如图2，若∠BCD的角平分线与AD相交于E ，求⊙O的半径与AE的长；

(3) 如图3，将△ABC的BC边所在的直线l₁绕点A旋转得到l₂ ，直线l₂与⊙O相交于M ， N ，连接AM ， AN ． l₂在运动的过程中，AM•AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．

【考点】

等腰三角形的性质; 勾股定理; 垂径定理; 切线的判定; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图已知收线的圆片上有三点A，B，C．

(1) 作出这个圆片的圆心O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，底边 $\text{[math]}$ ，腰 $\text{[math]}$ ，求该圆片的半径R．

综合题普通

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

(1) 证明△AMF是等腰三角形；

(2) 当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

(3) 将y表示成x的函数，并求y的最大值．

综合题普通

3. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均落在格点上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长等于．

(2) 以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，在 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $\text{[math]}$ ，作出 $\text{[math]}$ ，并简要说明点 $\text{[math]}$ 的位置是如何找到的．

综合题普通