如图图1 图2 图3

1. 如图

图1 图2 图3

(1) [操作与思考]如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边按逆时针方向作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请你以 $\text{[math]}$ 为边按顺时针方向作等边三角形 $\text{[math]}$ ，再连接 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长；

(2) [迁移与应用]如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边按逆时针方向作直角三角形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若D为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) [拓展与创新]如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 三角形全等的判定-SAS; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【初步感知】

（1）如图1，已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点D为边 $\text{[math]}$ 上一动点（点D不与点B，点C重合）．以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

【类比探究】

（2）如图2，若点D在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为__________，请证明你的结论．

【拓展应用】

（3）如图3，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上一定点且 $\text{[math]}$ ，若点D为射线 $\text{[math]}$ 上动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请问： $\text{[math]}$ 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．