在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论．如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根．同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题

1. 在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数 $\text{[math]}$ 图象可得如下结论．

如果抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴有公共点的横坐标是 $\text{[math]}$ ，那么当x＝ $\text{[math]}$ 时，函数值是0，因此 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根．

同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题

(1) 若二次函数 $\text{[math]}$ （m为常数）与x轴两交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二次函数的解析式；

(2) 不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；

(3) 在（1）的条件下，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，对应的函数值为N，Q，若 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 二次函数与不等式（组）的综合应用; 二次函数y=ax²+bx+c的图象; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【引入命题】设 $\text{[math]}$ 是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式，若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则整式 $\text{[math]}$ 必有一个因式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ 仍然是关于字母 $\text{[math]}$ 的一个整式.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一个根是；

(2) 【回归课本】设一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程可化为： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
利用上式结论解题：已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【探究引申】设一元三次方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原方程可化为： $\text{[math]}$ ，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
利用上式结论解题：已知方程 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 【拓展提高】利用以上规律探究：若方程 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

实践探究题困难

2. 阅读与思考：

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1) 材料理解：若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 类比应用：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 思维拓展：已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

(1) [回归教材]已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理” $\text{[math]}$ 请你证明这个定理．

(2) [夯实基础]若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) [拓展应用]若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数解为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题普通