如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形.备用图

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1. 如图，抛物线经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，设点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，且在 $\text{[math]}$ 轴下方，四边形 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为对角线的平行四边形.

备用图

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 运动时，试求平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并求出面积 $\text{[math]}$ 的最大值

(3) 是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使平行四边形 $\text{[math]}$ 为正方形?若存在，求 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 平行四边形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ．如果她从点 $\text{[math]}$ 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度 $\text{[math]}$ （单位：米）与水平距离 $\text{[math]}$ （单位：米）近似满足函数关系式 $\text{[math]}$ ．

(1) 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：

水平距离 $\text{[math]}$	0	4	h	5	5.5
竖直高度 $\text{[math]}$	10	10	11.25	10	6.25

根据上述数据，求出y与x的函数关系式；

(2) 比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 $\text{[math]}$ 设她平时训练时入水点与原点的水平距离为 $\text{[math]}$ 比赛当天入水点与原点的水平距离为 $\text{[math]}$ ，请通过计算比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的 $\text{[math]}$ （向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 之间近似满足 $\text{[math]}$ 且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成 $\text{[math]}$ 动作．若此次跳水她的竖直高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 求她在达到最高点后能顺利完成 $\text{[math]}$ 动作的a的取值范围．

综合题困难

2. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．

如何设计大棚苗木种植方案？

【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面 $\text{[math]}$ ．

【素材2】种植苗木时，每棵苗木高 $\text{[math]}$ ．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔 $\text{[math]}$ ，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）

【解决问题】

(1) 大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；

(2) 探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即 $\text{[math]}$ ），确定种植点的横坐标x的取值范围；

(3) 拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．

综合题普通

3. 综合与实践某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务．

课题	用数学的眼光观察校园
调查方式	实地查看了解
调查对象	校门口隔离栏
调查内容	平面图
	数学眼光	各个栏杆上彩色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）
	相关数据	隔离栏 $\text{[math]}$ 长为13米，并且 $\text{[math]}$ 的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度 $\text{[math]}$ 米．隔离栏顶端G距栏杆底部距离 $\text{[math]}$ 米．

任务：

(1) 请以点A为坐标原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．

(2) 若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？

(3) 若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为 $\text{[math]}$ 米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？

综合题普通