已知，

1. 已知 $\text{[math]}$ ，

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的导数，并证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是严格减函数（常数 $\text{[math]}$ 为自然对数的底）；

(2) 根据（1），判断并证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是正整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是满足条件的唯一一组值.

【考点】

对数函数图象与性质的综合应用; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题困难

1. 已知定义：函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，我们称函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的二阶导函数，如果一个连续函数 $\text{[math]}$ 在区间I上的二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凹函数；二阶导函数 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为I上的凸函数.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凹函数，则对任意的 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.若 $\text{[math]}$ 是区间I上的凸函数，则对任意的 $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立（当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立）.已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 试判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 为凹函数还是凸函数?

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的所有可能取值.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是减函数，求实数a的取值范围．

解答题普通

3. 某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆及直径 $\text{[math]}$ 围成．在此区域内原有一个以 $\text{[math]}$ 为直径、 $\text{[math]}$ 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在半圆 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 的圆弧上，且 $\text{[math]}$ 与半圆 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ 长为40米，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）要使改建成的展示区 $\text{[math]}$ 的面积最大，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通