已知定义域为的函数是奇函数.

1. 已知定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是奇函数.

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 试判断 $\text{[math]}$ 的单调性，并用定义证明；

(3) 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数的单调性及单调区间; 函数单调性的判断与证明; 奇函数与偶函数的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 为偶函数；

(2) 用定义证明： $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减.

解答题普通

2. 如图，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成两部分，记左侧部分的多边形为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 各边长的平方和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各边长的倒数和为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）分别求函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在该区间上均单调递减？若存在，求 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，说明理由.

解答题困难

3. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数

(1) 对任意 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 在（1）的条件下，求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值 $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通