已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC ，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到Rt△ADE ，连接BD ， CE ．

1. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC ，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到Rt△ADE ，连接BD ， CE ．

(1) 如图①，当0°＜α＜45°时，求证：△ABD∽△ACE；

(2) 如图②，当α＝45°时，点E在AB的延长线上，延长DB交CE于点F ，求∠DFE的度数；

(3) 如图③，当45°＜α＜90°时，延长DB交CE于点F ，求证：点F是线段CE的中点．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 等腰三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 上两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 上两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，且始终满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，猜想： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并证明你的结论．

综合题困难

2. 如图，△ABC中，AC=BC ， ∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD ，在BC边上取一点E ，使得CD=CE ，连接AE并延长交BD于点F ．

(1) 依题意补全图形；

(2) 求证：AF⊥BD；

(3) 连接CF ，点C 关于BD的对称点是Q ，连接FQ ，用等式表示线段CF ， CQ之间的数量关系，并加以证明．

综合题普通

3. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=40°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD ，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E ．

(1) 当∠BAD=20°时，∠EDC=°；

(2) 当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；

(3) △ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由．

综合题普通