已知数列的前项和为，，．

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；②求 $\text{[math]}$ ；

(2) 令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，并证明 $\text{[math]}$ ．

【考点】

数列的求和; 数列的递推公式; 等差数列与等比数列的综合;

【答案】

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解答题普通

1. 在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数” $\text{[math]}$ ；还有“欧拉质数多项式”： $\text{[math]}$ .但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数 $\text{[math]}$ 的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据 $\text{[math]}$ .这个过程叫加密，逆过程叫解密.

(1) 数列 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 经DZB数据加密协议加密后依次变为 $\text{[math]}$ .求经解密还原的数据 $\text{[math]}$ 的数值；

(2) 依据 $\text{[math]}$ 的数值写出数列 $\text{[math]}$ 的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项的和 $\text{[math]}$ ；

(3) 为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导数.设 $\text{[math]}$ .证明：对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .（本小题数列 $\text{[math]}$ 不同于第（1）（2）小题）

解答题普通

2. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ 是等比数列；

(2) 求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

解答题普通