已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并证明你的结论；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间（ $\text{[math]}$ ， 1）上有零点，求a的取值范围.

【考点】

函数单调性的判断与证明; 指数函数单调性的应用; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．

（i）求实数a的值；

（ii）若函数 $\text{[math]}$ ，是否存在正实数b，使得对区间 $\text{[math]}$ 上任意三个实数r，s，t，都存在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ 奇函数．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性并用定义证明；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值．

解答题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及此时函数 $\text{[math]}$ 的最大值.

解答题普通