如图。在Rt△ABC中，∠C=90°．AC=BC，AB=4，点D为AB的中点．动点P从点A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点P关于点D中心对称的点为点Q．当点P与点D不重合时，以PQ为直角边向PQ上方作等腰直角△QPM．使∠QPM=90°．设点P的运动时间为t秒．

1. 如图。在Rt△ABC中，∠C=90°．AC=BC，AB=4，点D为AB的中点．动点P从

点A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点P关于点D中心对称的点为点Q．当点P与点D不重合时，以PQ为直角边向PQ上方作等腰直角△QPM．使∠QPM=90°．设点P的运动时间为t秒．

(1) 用含t的代数式表示线段PQ的长（直接写出）；

(2) 当点M落在△ABC的边上时，求t的值；

(3) 当△PQM与△ABC重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S与t之间的函数关系式．

【考点】

勾股定理; 轴对称的性质; 等腰直角三角形; 数学思想; 三角形-动点问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某一时刻，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动；同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动，问：

(1) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(2) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的面积等于长方形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

解答题普通

2. 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．

【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④

【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取 $\text{[math]}$ 的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面 $\text{[math]}$ 与地面距离为 $\text{[math]}$ ，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ $\text{[math]}$ 时可将凳高调整为 $\text{[math]}$ ．

【驱动任务三】

根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长的木棒恰好能截成 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则成品桌子的高度 $\text{[math]}$ 为________ $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从点A开始沿 $\text{[math]}$ 边向点B以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点Q从点B开始沿 $\text{[math]}$ 边向点C以 $\text{[math]}$ 的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．

(1) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 的长度等于 $\text{[math]}$ ？

(3) 若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？

解答题普通