1. 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一,如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 , 再分别以为轴将分别向上翻转 , 使三点重合为点所围成的曲顶多面体(下底面开口),如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画,定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和,而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角,用弧度制表示).例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是 , 所以正四面体在各顶点的曲率为.

(1) 求蜂房曲顶空间的弯曲度;
(2) 若正六棱柱底面边长为1,侧棱长为2,设

①用表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积

②当蜂房表面积最小时,求其顶点的曲率的余弦值.

【考点】
三角函数的化简求值; 三角函数中的恒等变换应用; 空间几何体的直观图; 斜二测画法直观图; 棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用;
【答案】

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