绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5-0|，即|5-0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5+3|＝|5-（-3）|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．完成下列题目：

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1. 绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5-0|，即|5-0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5+3|＝|5-（-3）|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．完成下列题目：

(1) A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为-2，B点对应的数为4．

①A、B两点之间的距离为．

②折叠数轴，使A点与B点重合，则表示-3的点与表示的点重合；

③若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的2倍，则点P所表示的数是．

(2) 若满足|x-1|+|x+5|＝8时，则x的值是．

(3) 求|x-2|+|x+2|+|x+3|的最小值为，此时x的值为．

【考点】

数轴及有理数在数轴上的表示; 绝对值及有理数的绝对值;

【答案】

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实践探究题普通

1. 综合运用

同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作 $\text{[math]}$ ．如 $\text{[math]}$ 指数轴上点 $\text{[math]}$ 到原点的距离， $\text{[math]}$ 也可以写成 $\text{[math]}$ ；数轴上表示数 $\text{[math]}$ 的点与表示数2的点的距离可记作 $\text{[math]}$ ，值为5．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a ， B点表示的数记为b ，则A、B两点间的距离就可记作 $\text{[math]}$ ．利用数形结合思想回答下列问题：

(1) 数轴上表示2和7的两点之间的距离的值是；数轴上表示x与 $\text{[math]}$ 的两点之间的距离可记作，如果这两点之间的距离为3，那么 $\text{[math]}$ ；

(2) 利用数轴，找出所有符合条件的整数x ，使 $\text{[math]}$ ；

(3) 若x表示有理数，直接写出： $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题困难

2. 在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.

材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.

（ 1 ）|x﹣3|＝4

解：由绝对值的几何意义知：

在数轴上x表示的点到3的距离等于4

∴x₁＝3+4＝7，x₂＝3﹣4＝﹣1

（ 2 ）|x+2|＝5

解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5.∴x₁＝﹣2+5＝3，x₂＝﹣2﹣5＝﹣7

材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值.

由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值.

∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位.

故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x₁＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x₂＝1+0.5＝1.5.

阅读以上材料，解决以下问题：

(1) 填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为；

(2) 已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值.

(3) 试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围.

实践探究题困难

3. 定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就点C是(A，B)的美好点例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(A，B)的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是〔A，B)的美好点，但点D是(B，A)的美好点。

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N所表示的数为2.

(1) 点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是(M，N)美好点的是；写出(N，M)美好点H所表示的数是。

(2) 现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点?

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