如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，设是第一象限内上一点，，的延长线分别交于点， .

1. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是第一象限内 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的周长；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆半径，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

【考点】

基本不等式在最值问题中的应用; 椭圆的定义; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解答题普通

2. 如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧用彩带围成六个相同的矩形区域，靠墙的部分不用彩带.设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米.

(1) 当彩带的总长为48米时，围成的六个矩形的面积之和的最大值为多少？并求出此时 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 当围成的六个矩形的面积之和为18平方米时，求彩带总长的最小值及此时 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

3. 已知正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

解答题困难