在距离地球4.22光年以外的比邻星系，存在着一颗“超级地球”——比邻星b，环境与地球类似。已知比邻星b的半径R1是地球半径R2的2倍，比邻星b的质量M1为地球质量M2的倍。假定多年之后，科学家已经实现了星际航行，人类的足迹可以到达比邻星b。若在比邻星b上的科学家在比邻星b表面利用如图所示的装置研究小球的运动，光滑水平面OA与竖直面内的粗糙半圆形导轨在A点相接，半圆形导轨半径r=8m。一质量为m=1kg小球（可视为质点）将弹簧压缩至O点处由静止开始释放，在弹力的作用下，小球获得某一向右的速度后脱离弹簧，从轨道最低点A进入半圆形轨道，测得小球在A点对轨道的压力为重力的7倍，且小球恰好能够通过最高点B点，随后从最高点B脱离轨道后做平抛运动，最终与一斜面相碰于C点，C点与B点之间高度差h=5m。已知地球表面重力加速度g=10m/s2 ，忽略星球自转影响，不计空气阻力。求：

1. 在距离地球4.22光年以外的比邻星系，存在着一颗“超级地球”——比邻星b，环境与地球类似。已知比邻星b的半径R₁是地球半径R₂的2倍，比邻星b的质量M₁为地球质量M₂的 $\text{[math]}$ 倍。假定多年之后，科学家已经实现了星际航行，人类的足迹可以到达比邻星b。若在比邻星b上的科学家在比邻星b表面利用如图所示的装置研究小球的运动，光滑水平面OA与竖直面内的粗糙半圆形导轨在A点相接，半圆形导轨半径r=8m。一质量为m=1kg小球（可视为质点）将弹簧压缩至O点处由静止开始释放，在弹力的作用下，小球获得某一向右的速度后脱离弹簧，从轨道最低点A进入半圆形轨道，测得小球在A点对轨道的压力为重力的7倍，且小球恰好能够通过最高点B点，随后从最高点B脱离轨道后做平抛运动，最终与一斜面相碰于C点，C点与B点之间高度差h=5m。已知地球表面重力加速度g=10m/s² ，忽略星球自转影响，不计空气阻力。求：

(1) 比邻星b表面的重力加速度g₁；

(2) 小球从A点运动至B点过程中阻力做的功W_f；

(3) 小球从B点运动至C点所需的时间t及小球在C点处的动能E_k。

【考点】

万有引力定律的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 北京时间 $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日，塔载神舟十六号载人飞船的长征二号 $\text{[math]}$ 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约 $\text{[math]}$ 分钟后，神舟十六号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。神舟十六号载人飞船入轨后，与空间站成功对接，之后神舟十六号上的 $\text{[math]}$ 名航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利进驻中国空间站，与神舟十五号乘组进行在岗轮换，再现 $\text{[math]}$ 名航天员“太空会师”名场面。这是我国第三批航天员首次执行飞行任务，也是我国航天员队伍“新成员” $\text{[math]}$ 航天飞行工程师和载荷专家的“首秀”。空间站的轨道可近似看成距地面高度为 $\text{[math]}$ 的圆轨道，其周期为 $\text{[math]}$ ，已知地球半径为 $\text{[math]}$ ，引力常量 $\text{[math]}$ 。

(1) 求空间站的线速度大小；

(2) 求地球的平均密度；

(3) 在火箭发射过程中，若忽略地球自转，初始阶段火箭近似认为沿竖直方向上升，某时刻飞船内仪器显示航天员对座椅的压力是地面重力的 $\text{[math]}$ 倍，数据显示此时火箭加速度大小为 $\text{[math]}$ ，方向竖直向上，已知地面重力加速度为 $\text{[math]}$ ，试求此时火箭离地面的高度 $\text{[math]}$ 结果可保留根式 $\text{[math]}$ 。

综合题普通

2. 地球绕太阳公转的轨道近似看成圆形轨道，已知轨道半径为 $\text{[math]}$ ，公转周期为 $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 约 $\text{[math]}$ 。地球半径为 $\text{[math]}$ ，地面重力加速度 $\text{[math]}$ . 取 $\text{[math]}$ 。已知万有引力常量 $\text{[math]}$ 。请根据上述数据，估算：

(1) 太阳的质量 $\text{[math]}$ 结果保留两位有效数字 $\text{[math]}$ ；

(2) 地球的质量 $\text{[math]}$ 结果保留两位有效数字 $\text{[math]}$ 。

综合题普通

3. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为 $\text{[math]}$ 的近地圆轨道上，在卫星经过 $\text{[math]}$ 点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点 $\text{[math]}$ 点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示．已知同步卫星的运动周期为 $\text{[math]}$ ，地球的半径为 $\text{[math]}$ ，地球表面重力加速度为 $\text{[math]}$ ，忽略地球自转的影响．求：

(1) 卫星在近地点 $\text{[math]}$ 的加速度大小；

(2) 远地点 $\text{[math]}$ 距地面的高度．

综合题普通