如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面是的中点，为等腰直角三角形，．

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

【考点】

直线与平面垂直的判定; 直线与平面垂直的性质; 用空间向量研究直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

解答题普通

2. 马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， $\text{[math]}$ 为棚顶， $\text{[math]}$ 是棚底地面的中心， $\text{[math]}$ 为棚底直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棚底的内接正三角形，中间的支柱 $\text{[math]}$ 米，从支柱上的 $\text{[math]}$ 点向棚底周围拉了4根绳子 $\text{[math]}$ 供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 $\text{[math]}$ 点沿着绳子 $\text{[math]}$ 爬到 $\text{[math]}$ 点，再沿着 $\text{[math]}$ 爬到棚顶，然后从棚顶跳到 $\text{[math]}$ 中的某一根绳子上.

(1) 当 $\text{[math]}$ 点取在距离 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 米处时，证明：拉绳 $\text{[math]}$ 所在直线和平面 $\text{[math]}$ 垂直；

(2) 经验表明当拉绳 $\text{[math]}$ 所在直线和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把 $\text{[math]}$ 点取在什么位置.

解答题困难

3. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．

解答题困难