如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.

1. 如图，平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是单位向量，夹角为 $\text{[math]}$ ，那么，向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成平面的一个基.若 $\text{[math]}$ ，则将有序实数对 $\text{[math]}$ 称为向量 $\text{[math]}$ 的在这个基下的斜坐标，表示为 $\text{[math]}$ .

(1) 记向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求向量 $\text{[math]}$ 在这个基下的斜坐标；

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.

【考点】

平面向量的基本定理; 平面向量的坐标运算; 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角; 平面向量数量积坐标表示的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知两个非零向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线，

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证：A、B、D三点共线；

(2) 试确定实数k，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 的三边 $\text{[math]}$ ，对角线AC交BD于O．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通

3. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则欧几里得距离 $\text{[math]}$ ；曼哈顿距离 $\text{[math]}$ ，余弦距离 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的曼哈顿距离 $\text{[math]}$ 和余弦距离 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的两动点，问是否存在直线 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出所有满足条件的直线 $\text{[math]}$ 的方程，若不存在，请说明理由．

解答题困难