为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常进行体育锻炼与性别因素的相关性，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表. 经常锻炼不经常锻炼总计男 35 女 25 总计 100 已知从这100名学生中任选1人，经常进行体育锻炼的学生被选中的概率为.

1. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常进行体育锻炼与性别因素的相关性，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表.

	经常锻炼	不经常锻炼	总计
男	35
女		25
总计			100

已知从这100名学生中任选1人，经常进行体育锻炼的学生被选中的概率为 $\text{[math]}$ .

(1) 完成上面的列联表；

(2) 根据列联表中的数据，判断能否有95%的把握认为该校学生是否经常进行体育锻炼与性别因素有关.

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.01	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

【考点】

独立性检验; 独立性检验的基本思想; 独立性检验的应用;

【答案】

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解答题容易

1. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：

	不太了解	比较了解	合计
男生	20	40	60
女生	20	20	40
合计	40	60	100

(1) 判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；

(2) 若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及 $\text{[math]}$ .

附：① $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 时有95%的把握认为两变量有关联.

解答题普通

2. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $\text{[math]}$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1) 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值点 $\text{[math]}$ ；

(2) 现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解答题普通

3. 2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，该班级所有同学均参加活动，且男女同学人数比为 $\text{[math]}$ ，每位同学选择一项活动参加.统计数据如下表：

	长跑	短跑
男同学	a	10
女同学	10	10

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别相关；

(2) 赛后校记者团对参加长跑比赛的同学按性别采用分层随机抽样的方法抽取8名同学，再从这8名同学中抽取2名同学接受采访，记随机变量X表示抽到的2人中女生的人数，求X的布列与数学期望.

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.05	0.01	0.001
$\text{[math]}$	3.841	6.635	10.828

解答题普通