如图，已知点是椭圆上的一点，顶点.

1. 如图，已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的一点，顶点 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率；

(2) 直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之和为2，直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

(3) 点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的两个点，圆 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内切圆，过椭圆 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，分别交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，判断直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的位置关系并证明.

【考点】

椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题; 圆与圆锥曲线的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ .

(1) 若椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的上顶点，求 $\text{[math]}$ 的周长；

(2) 设过定点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为锐角（其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点），求直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ．

（i）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（ii）证明： $\text{[math]}$ 为定值．

解答题普通