如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.

1. 如图，正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为1，高为2，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一个动点（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均不重合）.

(1) 当点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点时，求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 当平面 $\text{[math]}$ 将正四棱柱 $\text{[math]}$ 分割成体积之比为 $\text{[math]}$ 的两个部分时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

【考点】

组合几何体的面积、表面积、体积问题; 直线与平面垂直的判定; 空间向量垂直的坐标表示; 向量方法证明线、面的位置关系定理;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝4，BB₁＝2 $\text{[math]}$ ，点E、F、M分别为C₁D₁ ， A₁D₁ ， B₁C₁的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．

(1) 在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）

(2) 在图2中，求证：D₁B⊥平面DEF．

解答题普通

2. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 所在的平面与梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面分别相交于直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求几何体 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

3. 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 为四边形 $\text{[math]}$ 内部及其边界上的点，且三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为三棱柱 $\text{[math]}$ 体积的 $\text{[math]}$ ，试在图中画出 $\text{[math]}$ 点的轨迹，并说明理由.

解答题普通