已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，斜率为1的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于不同于原点的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$

①求证： $\text{[math]}$ 为直角三角形.

②记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，并指出 $\text{[math]}$ 最小时对应的点 $\text{[math]}$ 的坐标.

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米．在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是多少米？

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点重合.

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于不同两点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）

(1) 若直线x﹣y﹣2=0过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程，并求出准线方程；

(2) 设p=2，A，B是C上异于坐标原点O的两个动点，满足OA⊥OB，△ABO的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

解答题普通