在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：

1. 在图1中，四边形 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．现沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，使得 $\text{[math]}$ ，得到如图2所示的四棱锥 $\text{[math]}$ ，在图2中解答下列两问：

(1) 求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

(2) 若F在侧棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求证：二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角．

【考点】

组合几何体的面积、表面积、体积问题; 直线与平面垂直的判定; 空间向量的线性运算的坐标表示; 平面的法向量; 与二面角有关的立体几何综合题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝4，BB₁＝2 $\text{[math]}$ ，点E、F、M分别为C₁D₁ ， A₁D₁ ， B₁C₁的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．

(1) 在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）

(2) 在图2中，求证：D₁B⊥平面DEF．

解答题普通

2. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 所在的平面与梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面分别相交于直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求几何体 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

3. 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 为四边形 $\text{[math]}$ 内部及其边界上的点，且三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为三棱柱 $\text{[math]}$ 体积的 $\text{[math]}$ ，试在图中画出 $\text{[math]}$ 点的轨迹，并说明理由.

解答题普通