已知数列满足，。数列满足，．

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

【考点】

数列的应用; 数列的递推公式; 数列与不等式的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 为等比数列，并写出它的通项公式：

(2) 若正整数m满足不等式 $\text{[math]}$ ，求m的最大值．

解答题普通

2. 若有穷整数数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），且各项均不相同，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列．对 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的导出数列．

(1) 分别写出 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的导出数列；

(2) 是否存在 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 使得其导出数列 $\text{[math]}$ 的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的 $\text{[math]}$ 数列；若不存在，说明理由；

(3) 设 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的导出数列分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 的充分必要条件是 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

(2) 若 $\text{[math]}$ 中的部分项 $\text{[math]}$ 组成的数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，2为公比的等比数列，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

解答题普通