如图所示，已知，，点E是线段上的一点，的平分线与的平分线相交于点F，连接．

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1. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是线段 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 的平分线与 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点F，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若三角形的三内角之和为180°，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图2，设 $\text{[math]}$ 的平分线交AB于点G，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小．

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形内角和定理; 角平分线的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为固定支撑杆，支架 $\text{[math]}$ 可绕点 $\text{[math]}$ 旋转调节．已知灯体顶角 $\text{[math]}$ ，顶角平分线 $\text{[math]}$ 始终与 $\text{[math]}$ 垂直．

(1) 如图2，当支架 $\text{[math]}$ 旋转至水平位置时， $\text{[math]}$ 恰好与 $\text{[math]}$ 平行，求支架 $\text{[math]}$ 与水平方向的夹角 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若将图2中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 到如图3的位置，求此时 $\text{[math]}$ 与水平方向的夹角 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题普通

2. 【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于D ，猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系．　

(1) 小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的特殊值求 $\text{[math]}$ 值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）

$\text{[math]}$	10	30	30	20	20
$\text{[math]}$	70	70	60	60	80
$\text{[math]}$	30	a	15	20	30

上表中a＝，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明．

(2) 【变式应用】

小明继续研究，在图②中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其它条件不变，若把“ $\text{[math]}$ 于D”改为“点F是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 于D”，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （直接写出结果）．