已知和都是等腰直角三角形，．

1. 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ：连 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 若将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好在同一条直线上时，如图 $\text{[math]}$ 所示，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出线段 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时，如图 $\text{[math]}$ 所示， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

勾股定理; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

(1) 如图1，已知 $\text{[math]}$ ，以AB、AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE ，连接BE、CD.猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由.

(2) 在幸福村的休闲广场上种有四棵景观树，在如图2所示A、B、C、E的位置，数学兴趣小组的同学测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米.

①求A、C两棵树之间的距离；（结果保留根号）

②如果 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求B、E两棵树之间的距离.

综合题困难

2. 如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．

(1) 求证：△ACE≌△BCD；

(2) 若AD＝5，BD＝12，求DE的长．

综合题普通

3. 两张等腰直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图1所示位置放置，直角顶点重合在点O处，保持纸片 $\text{[math]}$ 不动，将纸片 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 角度，如图2所示．

(1) 利用图2，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图3，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一直线上时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难