已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．

1. 已知在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点O是边 $\text{[math]}$ 上的一点（不与点A重合），以点O为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作圆，交射线 $\text{[math]}$ 于点G．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相切时，求半径 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的三边有且只有两个交点时，求半径 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为点H，延长 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点F，如果以点B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径的圆与 $\text{[math]}$ 相切，求 $\text{[math]}$ 的正切值．

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 勾股定理; 矩形的性质; 切线的性质; 圆与圆的位置关系; 锐角三角函数的定义; 直角三角形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图①，有一组平行线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，正方形ABCD的四个顶点分别在l₁、l₂、l₃、l₄上，EG过点D且垂直于l₁于点E，分别交l₂、l₄于点F、G，EF＝DG＝1，DF＝2.

(1) AE＝，正方形ABCD的边长＝；

(2) 如图②，将∠AED绕点A顺时针旋转α°得到∠AE′D′，且0°＜α＜90°，点D′在直线l₃上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AD′C′B′，使点B′、C′分别在直线l₂、l₄上．

①写出∠B′AD′与α的函数关系并给出证明；

②若α＝30°，求菱形AD′C′B′的边长．

综合题困难

(1) 如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的顶点E，F分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上，高 $\text{[math]}$ 与正方形的边长相等，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M，N是 $\text{[math]}$ 边上的任意两点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 位置，连接 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 在图①中，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点M，N，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

3. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\text{[math]}$ 的顶点A ， B均在格点上， $\text{[math]}$ ，经过A ， B ， C三点的圆的半径为 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长等于；

(2) 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足 $\text{[math]}$ ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）

综合题普通