探究与运用：

1. 探究与运用：

(1) 【原题再现】课本第42页有这样一道题：如图1，将 $\text{[math]}$ 纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在四边形 $\text{[math]}$ 内点 $\text{[math]}$ 的位置．试探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2) 【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形 $\text{[math]}$ 内点 $\text{[math]}$ 的位置”变为“点A落在四边形 $\text{[math]}$ 外点 $\text{[math]}$ 的位置”，试猜想此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 【结论运用】
图1中，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，如图3，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

(4) 图2中，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的外角，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图4，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形的外角性质; 翻折变换（折叠问题）; 角平分线的概念;

【答案】

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综合题困难

1. 旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

(1) 如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的两个外角，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？为什么？

(2) 如图，在 $\text{[math]}$ 纸片中剪去 $\text{[math]}$ ，得到四边形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 小明联想到了曾经解决的一个问题：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别平分外角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．

(4) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别平分外角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有何数量关系？为什么？

综合题普通

2. 已知直线 $\text{[math]}$ ，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 将含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 所示摆放，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 一定平分 $\text{[math]}$ 吗？请做出判断，并说明理由；

(3) 将一副直角三角板按如图 $\text{[math]}$ 所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点与 $\text{[math]}$ 角的顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，直角三角板 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的另一个顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题困难

3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点P．

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，作 $\text{[math]}$ 外角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线，相交于点Q．试探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(3) 如图③，在图②中延长线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．交于点E，若在 $\text{[math]}$ 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题困难