如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．若固定，将绕点C顺时针旋转．

1. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 重合放置，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若固定 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图2，在旋转的过程中，当点D恰好落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，如图3，

①小明同学猜想： $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等，试判断小明同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小明同学的猜想．若不正确，请说明理由．

②小华同学若将线段 $\text{[math]}$ 的中点G、H、M、N依次连接起来，得到四边形 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是▲形．

【考点】

矩形的判定; 旋转的性质; 三角形全等的判定-AAS; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．

已知： $\text{[math]}$ 中，∠ABC=90°．

求作：矩形 $\text{[math]}$ ．

作法：如图，

①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；

②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB

③连接AD，CD

所以四边形ABCD即为所求作的矩形

根据小东设计的尺规作图过程，

(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2) 完成下面的证明．

证明：∵OA= ▲ ， OD=OB，

∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）.

∵∠ABC=90°，

四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）

综合题普通

2. 下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．

已知：如图 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，及 $\text{[math]}$ ．

求作：矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

作法：如图 $\text{[math]}$ ，

①在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，再以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内部交于点 $\text{[math]}$ ；

③连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 就是所求作的矩形．

根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形（）（填推理的依据）．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是矩形（）（填推理的依据）．

综合题普通

3. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于O点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通