综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，且满足．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，与y轴相交于点E．

1. 综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．将矩形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，点B落在点D处， $\text{[math]}$ 与y轴相交于点E．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 试证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，并直接写出点E的坐标；

(3) 若点F是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为；

(4) 平面内是否存在点M与点N使四边形 $\text{[math]}$ 为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

矩形的性质; 正方形的性质; 轴对称的应用-最短距离问题; 翻折变换（折叠问题）; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）．

(1) 写出点B的坐标是（，）；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求点E的坐标；

(3) 在点E的整个运动过程中，

①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标；

②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 ▲ ．（请直接写出答案）

综合题普通

2. 有两根长度均为l的铁丝，将这两根铁丝分别围成一个长方形（长和宽不等）和正方形，设长方形的长为x.

(1) 长方形的面积为，正方形的面积为.（用含x、l的代数式表示）

(2) 试比较长方形与正方形面积的大小，并说明理由.

综合题普通

(1) 如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD；

请你完成问题情境中（2）的证明

(2) 如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB ， PF⊥BC ，垂足分别为E、F ，连接EF ，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想．

综合题普通