小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

1. 小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1) 概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是．

(2) 性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形 $\text{[math]}$ 的面积S与两对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：．

(3) 问题解决：如图2，分别以 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 和斜边 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求证：四边形 $\text{[math]}$ 为垂美四边形；

②直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

全等三角形的应用; 菱形的性质; 矩形的性质; 正方形的性质; 几何图形的面积计算-割补法;

【答案】

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综合题困难

1. 定义：若四边形中某个顶点与其他三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.

(1) 判断：如图①，一个内角为60°的菱形_▲_等距四边形.（填“是”或“不是”）并说明为什么？

(2) 如图②，在5×5的网格图（每个小正方形的边长为1）中有A、B两点，请在给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是以点A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并求出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长.

综合题普通

2. 如图，菱形花坛 $\text{[math]}$ 的一边长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿着该菱形的对角线修建两条小路 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求菱形花坛 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题普通

3. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 边中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题普通