如图所示，间距L=1m的两平行光滑金属导轨，x轴平行导轨，y轴垂直导轨。在x=0位置左侧有一宽度为d=0.1m的光滑绝缘薄层（包括x=0处），隔开左右两部分电路。在导轨间存在磁场，y轴左侧磁场大小为B1=2T方向垂直纸面向外，y右侧磁场大小为B2 ，且满足B2=0.5x（T）变化，方向垂直纸面向外，在两轨道中x轴为坐标为x2=-0.5m的位置存在一个弹性装置，金属棒与弹性装置碰撞时瞬间等速弹回，导轨右侧的恒流源始终为电路提供恒定的电流I=8A（方向如图中箭头所示），导轨左侧接一阻值为R1=3Ω的电阻。阻值为R=1Ω质量为m=1kg的金属棒a垂直导轨静止于x=0处，与金属棒a完全相同的金属棒b垂直导轨静止于x1=0.5m处，金属棒a与金属棒b发生弹性碰撞。忽略一切阻力，已知弹簧振子周期公式，其中m为振子质量，k为回复力系数。求：

1. 如图所示，间距L=1m的两平行光滑金属导轨，x轴平行导轨，y轴垂直导轨。在x=0位置左侧有一宽度为d=0.1m的光滑绝缘薄层（包括x=0处），隔开左右两部分电路。在导轨间存在磁场，y轴左侧磁场大小为B₁=2T方向垂直纸面向外，y右侧磁场大小为B₂ ，且满足B₂=0.5x（T）变化，方向垂直纸面向外，在两轨道中x轴为坐标为x₂=-0.5m的位置存在一个弹性装置，金属棒与弹性装置碰撞时瞬间等速弹回，导轨右侧的恒流源始终为电路提供恒定的电流I=8A（方向如图中箭头所示），导轨左侧接一阻值为R₁=3Ω的电阻。阻值为R=1Ω质量为m=1kg的金属棒a垂直导轨静止于x=0处，与金属棒a完全相同的金属棒b垂直导轨静止于x₁=0.5m处，金属棒a与金属棒b发生弹性碰撞。忽略一切阻力，已知弹簧振子周期公式 $\text{[math]}$ ，其中m为振子质量，k为回复力系数。求：

(1) 金属棒b第一次与金属棒a碰撞时的速度；

(2) 试定性画出金属棒a的I-t图像（对时间轴数值不做要求）；

(3) 金属棒a最终停下位置和整个过程装置产生的焦耳热。

【考点】

电磁感应中的电路类问题; 电磁感应中的能量类问题;

【答案】

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综合题困难

1. 某兴趣小组为研究非摩擦形式的阻力设计了如图甲的模型。模型由大齿轮、小齿轮、链条、阻力装置K及绝缘圆盘等组成。K由固定在绝缘圆盘上两个完全相同的环状扇形线圈 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 组成。小齿轮与绝缘圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，与K所在平面垂直。大、小齿轮半径比为n，通过链条连接。K的结构参数见图乙，其中 $\text{[math]}$ ，每个线圈的圆心角为 $\text{[math]}$ ，圆心在转轴轴线上，电阻为R。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大齿轮以 $\text{[math]}$ 的角速度保持匀速转动，以线圈 $\text{[math]}$ 的ab边某次进入磁场时为计时起点，求K转动一周。

(1) 不同时间线圈 $\text{[math]}$ 受到的安培力大小；

(2) 流过线圈 $\text{[math]}$ 的电流有效值；

(3) 装置K消耗的平均电功率。

综合题困难

2. 如图所示，相距 $\text{[math]}$ 的水平无限长金属导轨AB和 $\text{[math]}$ 上接有电容分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两个电容器， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是开关。开始时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 处在接通状态， $\text{[math]}$ 处在断开状态。MN和PQ是两根完全相同的导体棒，长度为L，质量 $\text{[math]}$ ，电阻 $\text{[math]}$ 。两棒相距L，E和 $\text{[math]}$ 是两个绝缘点，在 $\text{[math]}$ 中存在磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ 的磁场（ $\text{[math]}$ ），磁场方向垂直于导轨所在的平面， $\text{[math]}$ 处在磁感应强度大小 $\text{[math]}$ 的匀强磁场中， $\text{[math]}$ 右侧交替分布着垂直于平面，方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽L，磁感应强度大小 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。求：

(1) 在 $\text{[math]}$ 磁场变化的过程中，电容器 $\text{[math]}$ 上极板带何种电荷，并说明理由；

(2) 经一定时间后，断开 $\text{[math]}$ ，同时磁场停止变化，达到平衡时两个电容器的电荷量分别为多少；

(3) 在（2）的条件下，此后断开 $\text{[math]}$ ，同时接通 $\text{[math]}$ ，导体棒PQ在到达 $\text{[math]}$ 前，MN、PQ均已达到稳定，两棒稳定时速度v的大小；

(4) 在（3）的条件下，PQ棒停下时到 $\text{[math]}$ 的距离x。

综合题普通

3. 光滑的水平长直轨道放在匀强磁场 $\text{[math]}$ 中，轨道宽 $\text{[math]}$ ，一导体棒长也为 $\text{[math]}$ ，质量 $\text{[math]}$ ，电阻 $\text{[math]}$ ，它与导轨接触良好。当开关与a接通时，电源可提供恒定的 $\text{[math]}$ 电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b接通时，电阻 $\text{[math]}$ ，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求：

(1) 当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；

(2) 当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动 $\text{[math]}$ 而静止，则棒的最大速度是多少；

(3) 要想棒在最短时间内向左移动 $\text{[math]}$ 而静止，则棒中产生的焦耳热是多少。

综合题困难