已知正三棱锥的高为4，底面边长为.

1. 已知正三棱锥 $\text{[math]}$ 的高为4，底面边长为 $\text{[math]}$ .

(1) 求该正三棱锥的表面积；

(2) 用平行底面 $\text{[math]}$ 的平面去截该三棱锥，所得截面三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 都在同一球面上，求该球的体积.

【考点】

棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用; 球的表面积与体积公式及应用;

【答案】

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解答题困难

1. 据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.如图1，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积.

解答题普通

2. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求该直三棱柱的表面积 $\text{[math]}$ ；

(2) 若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积.

解答题普通

3. 如图，将棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该四面体的表面积；

(2) 求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比．

解答题普通