如图，在矩形中，，，点E为边的中点．动点P从点A出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不与点A重合时，连接．作点A关于直线的对称点，连接、，设点P的运动时间为秒．

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为边 $\text{[math]}$ 的中点．动点P从点A出发，沿射线 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不与点A重合时，连接 $\text{[math]}$ ．作点A关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长为．

(2) 用含t的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求t的值．

(4) 当点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 内部（不包括边界）时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

翻折变换（折叠问题）; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 为正方形ABCD的边BC上任意一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在AP的延长线上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结BE，CE

(1) 如图①，若正方形的边长为6，PB=2，求BG的长.

(2) 如图②，当P为BC的中点时，求证：CE：BG= $\text{[math]}$ ∶1.

(3) 当BP：PC=2∶3时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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2. 将一个矩形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在第一象限 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的大小和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，若折叠后重合部分为四边形，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的下方， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示重合部分的面积 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若折叠后重合部分的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ 直接写出结果即可 $\text{[math]}$ ．

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3. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．

(1) 折纸1：如图，将正方形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，使点A落在点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

(2) 折纸2：请用一个正方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具），在给出的正方形图形中画出你的折叠方法，并说明理由．

(3) 折纸3：如图，操作一；将边长为4的正方形片 $\text{[math]}$ 对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕 $\text{[math]}$ ；操作：将正方形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠，使得点D落在点 $\text{[math]}$ 处；操作三：正方形纸片沿着 $\text{[math]}$ 折叠再展开，折痕 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 于点P，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

(4) 综合应用：如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠，点B的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 落在矩形的内部，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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