对于任意一个四位数，我们可以记为，即若规定：对四位正整数进行运算，得到整数例如，；.

1. 对于任意一个四位数，我们可以记为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 若规定：对四位正整数 $\text{[math]}$ 进行 $\text{[math]}$ 运算，得到整数 $\text{[math]}$ 例如， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

(1) 计算： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ 的结果一定是4的倍数；

(3) 求出满足 $\text{[math]}$ 的所有四位数.

【考点】

因式分解的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）= $\text{[math]}$ ，如F（123）= $\text{[math]}$ =1.

(1) 计算：F（159），F（246）；

(2) 若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足

F（s）+F（t）=5，记k= $\text{[math]}$ ，求k的最大值.

综合题普通

2. 定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续计算，例如 $\text{[math]}$ ，所以55263是“一刀两断”数. $\text{[math]}$ ，所以3247不是“一刀两断”数.

(1) 判断5928是否为“一刀两断”数：▲（填是或否），并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；

(2) 对于一个“一刀两断”数 $\text{[math]}$ 均为正整数），规定 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 的千位数字满是 $\text{[math]}$ ，千位数字与十位数字相同，且能被65整除，求出所有满足条件的四位数 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的最大值.

综合题普通

3. 利用因式分解计算或说理：

(1) 5²³-5²¹能被120整除吗？

(2) 81⁷-27⁹-9¹³能被45整除吗？

综合题困难