如图，已知是等边三角形，分别是边上的点，且．在的延长线上取点F，使得，联结．

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1. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 的延长线上取点F，使得 $\text{[math]}$ ，联结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

等边三角形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1) 已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2) 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

(3) 如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 $\text{[math]}$ 的值。

综合题困难

3. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM ，垂足为点N ，且BN的延长线交AC于点D ．

(1) 求证：△ABC∽△ADB；

(2) 如果BC=20，BD=15，求AB的长度．

综合题普通