已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．

1. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．

(1) 如图1，猜想△ADE是什么三角形？；（直接写出结果）

(2) 如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；

(3) 在点D运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】

等边三角形的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 已知，等边 $\text{[math]}$ 中．

(1) 如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的形长线上且 $\text{[math]}$ ，求证， $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的适长线上，点F在BC的需长线上，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 已知AD为等边△ABC的角平分线，△ABC的边长为6，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE.以BE为一边在BE的下方作等边△BEF，连接CF.

(1) 如图1，若点E在线段AD上，

①求证：△ABE≌△CBF；

②当DE=2AE，S_△_ABC=9 $\text{[math]}$ 时，则点F到BC的距离是；

(2) 如图2，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M.
①求∠AMC的度数；
②若P，Q为直线CF上的两个动点，且PQ＝8，连接BP，BQ，判断△BPQ的面积是否为定值.若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由.

综合题普通

3. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的大小改变时， $\text{[math]}$ 的度数是否发生改变？若变化，求 $\text{[math]}$ 的变化范围，若不变，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

(4) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

综合题困难