知识背景：我们在《全等三角形》一章中学习了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．

1. 知识背景：我们在《全等三角形》一章中学习了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．

(1) 问题初探：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系，并说明理由．

(2) 方法迁移：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？ $\text{[math]}$ 直接写出答案，不写过程 $\text{[math]}$

(3) 类比再探：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 上一点，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 一边作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线 $\text{[math]}$

(4) 拓展创新：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点M是 $\text{[math]}$ 上一点，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由．

【考点】

三角形全等的判定-SAS; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合探究

直观感知和操作确认是几何学习的重要方式，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 尺规作图：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，作 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2) 操作探究：在（1）的条件下，将 $\text{[math]}$ 沿着过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 三边所在直线上（顶点除外），画出示意图；

(3) 迁移运用：

①如图2，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②如图3，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠至 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值.