已知函数，．

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1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断并证明 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

函数单调性的判断与证明; 函数的最大（小）值;

【答案】

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解答题普通

1. 考虑以O为坐标原点的坐标平面，对于平面上任意两点 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 成立，则称S和T相距很远．设不等式 $\text{[math]}$ 表示的正方形区域为D，其中两个顶点为 $\text{[math]}$ ．已知点P的横坐标为a且满足下列条件 $\text{[math]}$ ，点Q满足下列条件 $\text{[math]}$ ．

（i）点P在区域D内，且在抛物线 $\text{[math]}$ 上；

（ⅱ）点P与O，A，B三点都相距很远；

（ⅲ）点Q在区域D内；

（iv）点Q与O，A，B，P四点都相距很远．

解答下列问题：

(1) 求a的取值范围；

(2) 求点Q的可行域构成的面积 $\text{[math]}$ ；

(3) 求a在变化过程中，a取何值时， $\text{[math]}$ 取最小值；

解答题困难

2. 已知定义在 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 满足：①对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ ，判断并证明 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性（直接写出结论，不需要理由）；

(2) 对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有 $\text{[math]}$ 个实数解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通