设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：① ，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合T为集合S的“耦合集”.

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：① $\text{[math]}$ ，且T中至少有两个元素；②对于任意 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；③对于任意 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；则称集合T为集合S的“耦合集”.

(1) 若集合 $\text{[math]}$ ，求集合 $\text{[math]}$ 的“耦合集” $\text{[math]}$ ；

(2) 若集合 $\text{[math]}$ 存在“耦合集” $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证对于任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ；

(3) 设集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.

【考点】

元素与集合的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 已知集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ：对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至少一个属于 $\text{[math]}$ .

(1) 分别判断集合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否具有性质P，并说明理由；

(2) $\text{[math]}$ 具有性质P，当 $\text{[math]}$ 时，求：集合A；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

解答题困难

2. 已知集合 $\text{[math]}$ 具有性质P：对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至少一个属于A ．

(1) 分别判断集合 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 是否具有性质P ，并说明理由；

(2) 证明： $\text{[math]}$ ；

(3) $\text{[math]}$ 具有性质P ，当 $\text{[math]}$ 时，求集合A ．

解答题普通

3. 已知集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ：对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至少一个属于 $\text{[math]}$ .

(1) 分别判断集合 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

(2) 证明： $\text{[math]}$ ；

(3) $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求集合 $\text{[math]}$ .

解答题普通