按图甲所示连接电路，当开关S闭合时，电源将使电容器两极板带上等量异种电荷，这一个过程叫做电容器充电．已知电容器的电容为C，电源电动势大小为E．

1. 按图甲所示连接电路，当开关S闭合时，电源将使电容器两极板带上等量异种电荷，这一个过程叫做电容器充电．已知电容器的电容为C，电源电动势大小为E．

(1) 求充电结束后电容器所带的电荷量Q．

(2) 为了检验第（1）问结果是否正确，在图甲中用电流传感器观察到充电时，电路中电流随时间变化的i - t曲线如图乙所示，其中 $\text{[math]}$ 为已知量．类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，我们学习了用v - t图像求位移的方法．请你借鉴此方法，估算充电结束后电容器所带的电荷量的大小．

(3) 电容器在充电过程中，两极板间的电压u随所带电荷量q增多而增大，储存的能量增大．请在图丙中画出电容器充电过程中的u - q图像，并借助图像求出充电结束后电容器储存的能量E₀ ．

【考点】

电容器及其应用;

【答案】

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综合题普通

1. 能量在转化的过程中往往与做功密切相关，电容器充电过程中的功能关系同样如此。

电容器不仅可以储存电荷，也是重要的储能器件。对电容为 $\text{[math]}$ 的电容器 $\text{[math]}$ 原来不带电 $\text{[math]}$ 充电，如图 $\text{[math]}$ 所示，已知电源的电动势为 $\text{[math]}$ 。

(1) 图 $\text{[math]}$ 中画出了电容器两极间的电势差 $\text{[math]}$ 随电荷量 $\text{[math]}$ 的变化图像，在图中取一电荷量的微小变化量 $\text{[math]}$ ，请类比直线运动中由 $\text{[math]}$ 图像求位移的方法，说明图中小阴影矩形的“面积”所表示的物理含义；并计算电容器电压为 $\text{[math]}$ 时电容器储存的电能 $\text{[math]}$ 。

(2) 请结合电动势的定义，求电容器充电过程中电源内部非静电力所做的功 $\text{[math]}$ ；并与充电过程中电容器增加的电能 $\text{[math]}$ 相比较，说明两者“相等”或“不相等”的原因。

(3) 电容器的电能是储存在电场中的，也称电场能。若定义单位体积内的电场能量为电场能量密度 $\text{[math]}$ 。某同学猜想 $\text{[math]}$ 应当与该处的场强 $\text{[math]}$ 的平方成正比，即 $\text{[math]}$ 。已知平行板电容器的电容 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两极板的正对面积， $\text{[math]}$ 为极板间距， $\text{[math]}$ 为常数，两极板间为真空，板间电场可视为匀强电场。不计电容器电场的边缘效应。

$\text{[math]}$ 请以电容器内储存的电场能为例论证该同学的猜想是否正确。

$\text{[math]}$ 电容器充电后与电源断开并保持电荷量不变，已知此时的电场能量密度为 $\text{[math]}$ 。现固定其中一极板，缓慢拉开另一极板 $\text{[math]}$ 保持两极板正对 $\text{[math]}$ ，使板间距增加 $\text{[math]}$ ，请分析说明，在此过程中电场能量密度如何变化；并求出此过程中外力所做的功 $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 。

综合题困难

2. 如图所示电路，A、B两点间接上一电动势为4V、内电阻为1Ω的直流电源，三个电阻的阻值均为4Ω，电容器的电容为20μF，电流表内阻不计，求：

(1) 闭合开关S后，电容器所带电荷量；

(2) 断开开关S后，通过R₂的电荷量。

综合题普通

3. 目前智能手机普遍采用了电容触摸屏，电容触摸屏是利用人体的电流感应进行工作的，它是一块四层复合玻璃屏，玻璃屏的内表面和夹层各涂一层 $\text{[math]}$ （纳米铟锡氧化物）。夹层 $\text{[math]}$ 涂层作为工作面，四个角引出四个电极，当用户用手指触摸电容触摸屏时，手指和工作面形成一个电容器，因为工作面上接有高频信号，电流通过这个电容器分别从屏的四个角上的电极，且理论上流经四个电极的电流与手指到四个角的距离成比例，控制器通过对四个电流比例的精确计算来确定手指位置。

回答电容触摸屏的相关问题：

(1) 使用绝缘笔，在电容触摸屏上（选填“能”或“不能”）进行触控操作。

(2) 手指与夹层工作面之间距离减小时，手指与工作面形成的电容。（选填“变大”、“不变”或“变小”）

(3) 手指与屏的接触面积变大时，手指与工作面形成的电容。（选填“变大”、“不变”或“变小”）

综合题普通