浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：分组男生人数216181863女生人数3209221若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.

1. 浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：

分组	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
男生人数	2	16	18	18	6	3
女生人数	3	20	9	2	2	1

若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.

(1) 若将频率视为概率，估计该校3500名学生中“锻炼达人”有多少？

(2) 从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.

①求男生和女生各抽取了多少人；

②若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

【考点】

分层抽样方法; 用样本的频率分布估计总体分布; 古典概型及其概率计算公式;

【答案】

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解答题普通

1. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1) 求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数.

(2) 用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数.

(3) 若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为 $\text{[math]}$ ，乙复赛获一等奖的概率为 $\text{[math]}$ ，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．

解答题普通

2. 某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高	155	158	156	157	160	161	159	162	169	163

记抽取的第 $\text{[math]}$ 个女生的身高为 $\text{[math]}$ ，样本平均数 $\text{[math]}$ ，方差 $\text{[math]}$ .

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在 $\text{[math]}$ 范围内的人数；

(2) 用总样本平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数 $\text{[math]}$ 和标准差 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

3. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组： $\text{[math]}$ ，第二组： $\text{[math]}$ ，第三组： $\text{[math]}$ ，第四组： $\text{[math]}$ ，第五组： $\text{[math]}$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1) 根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数；

(2) 若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 $\text{[math]}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差．

解答题普通