数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

1. 数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1) 请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：

方法1：；

方法2：；

(2) 观察图2，请你写出代数式：（a+b）² ， a²+b² ， ab之间的等量关系；

(3) 根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b＝5，（a﹣b）²＝13，求ab的值；

②已知（2021﹣a）²+（a﹣2020）²＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．

【考点】

完全平方公式的几何背景;

【答案】

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综合题普通

1. 已知某工厂接到订单，需要边长为 $\text{[math]}$ 和3的两种正方形卡纸．

(1) 仓库只有边长为 $\text{[math]}$ 的正方形卡纸，现决定将部分边长为 $\text{[math]}$ ，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．

①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含 $\text{[math]}$ 代数式来表示）．

②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的长和宽分别是多少？（用含 $\text{[math]}$ 代数式来表示）

(2) 若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），设图1中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，图2中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，测得盒子底部长方形的长比宽多3，设宽 $\text{[math]}$ ，试用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 如图①所示是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：

(1) 图②中阴影部分的正方形的边长为；

(2) 请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.

方法一：；方法二：；

(3) 观察图②，写出代数式 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的等量关系式：；

(4) 计算： $\text{[math]}$ .

综合题困难

3. 如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形（其中a，b均为正数，且a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形.

(1) 你认为图2中大正方形的边长为；小正方形（阴影部分）的边长为.（用含a、b的代数式表示）

(2) 仔细观察图2，请你写出下列三个代数式：（a﹣b）² ，（a+b）² ， ab所表示的图形面积之间的相等关系，并选取适合a、b的数值加以验证.

(3) 已知a+b=4，ab=3.求代数式a﹣b的值.

综合题困难