如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴； ⑵。现在规定一种运算"*"，它对于整数a、b、c、d满足：。例：请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

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1. 如果 $\text{[math]}$ 、

、 $\text{[math]}$ 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即

⑴；

⑵ $\text{[math]}$ 。

现在规定一种运算"*"，它对于整数a、b、c、d满足：

。

例： $\text{[math]}$

请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

【考点】

定义新运算;

【答案】

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解决问题困难

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能力提升

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真题演练

换一批

1. 设A、B是两个数，规定A*B= $\text{[math]}$ ，求5*10等于多少？

计算题容易

2. 定义新运算a◎b= $\text{[math]}$ =(b≠0) ，求2◎(3◎4)的值。

计算题容易

3. 规定a*b=(a+b)(a-b)，求49*9等于多少？

计算题容易

1. 国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：

①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；

②207÷11＝18……9；

③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。

依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。

解决问题困难

2. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算。运算的结果或是羊，或是狼。求下式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）

解决问题困难

3. 对于任意的两个自然数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，规定新运算 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示自然数。

(1) 求1 $\text{[math]}$ 100的值；

(2) 已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 10 $\text{[math]}$ 75，求 $\text{[math]}$ 为多少？

(3) 如果（ $\text{[math]}$ 3） $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 121，那么 $\text{[math]}$ 等于几？

解决问题困难

1. 规定“*”是一种新运算，a*b表示2a+b，如果3*4=2×3+4，那么10*5的最后结果是。

填空题容易

2. 阅读理解：我们把 $\text{[math]}$ 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 $\text{[math]}$ =ad－bc，如果 $\text{[math]}$ =4×3－2×5=2，如果 $\text{[math]}$ =0.6，则x的值为。

填空题普通

3. 郑郑用电脑编辑了一个运算程序：1&1=2，m&n=k，m&（n+1）=k+2，则1&2017的输出结果是。

填空题困难

1. 读一读、填一填。

数学中有很多看似简单，但证明起未却非常困难的问题，“考拉兹猜想就是其中之一。这个猜想说的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数就卖了再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4-2-1这个循环。

例如，5的交换过程是：5→16→8→4→2→1

42的交换过程是：42→21→64→32→16→8→4→2→1．

(1) 根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是，“42→21”的变换过程用算式表示是。

(2) 在42的变换过程中，变成最大的数是6，那么在11的变换过程中，变成最大的数是。

(3) 我是这样想的：

填空题困难

2. 已知，我们把任意形如： $\text{[math]}$ 的五位自然数(其中c=a+b，1≤a≤9，0≤b≤8)称之为喜马拉雅数，并规定：能被自然数n 整除的最大的喜马拉雅数记为F(n)，能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I(n)。

(1) 求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除：

(2) 求F(3)+I(8)的值。

解决问题困难

3. 已知一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 13整除，那么这个自然数就一定能被13整除，我们把能被13整除的自然数称为“友谊数”.例如：判断26260是否为“友谊数”，这个数的末三位数字是260，末三位以前的数字组成的数是26，这两个数的差是：260-26=234，234能被13整除，因此26260 是“友谊数”.

(1) 判断1158和254514是否为“友谊数”，并说明理由；

(2) 如果一个四位自然数M，千位和百位上的数字均为a，十位与个位上的数字均为b，我们就称它为“OOKK数”，已知一个四位数M 既是“友谊数”又是“OOKK 数”求数M 的值.

解决问题困难

1. 对于任意自然数a，b，如果有a*b=ab+a+b，已知x*（3*4）=119，则x=．

填空题容易

2. 一种定义新运算：已知1※3=1×2×3，4※5=4×5×6×7×8，则（6※4）÷（3※4）=

填空题困难

3. 定义“★”的运算规则是a★b＝2×a﹣b，那么6★4＝。

填空题普通