知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵ ， ∴ ， ∴

1. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

(1) 拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的关系，并写出探究过程．

(2) 解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．

【考点】

推理与论证; 锐角三角函数的定义; 同角三角函数的关系;

【答案】

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综合题普通

（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3， $\text{[math]}$ ≈1.4， $\text{[math]}$ ≈1.7）

综合题普通

综合题普通

如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C= $\text{[math]}$ ，则

S_△_ABC= $\text{[math]}$ BC×AD= $\text{[math]}$ ×BC×ACsin∠C= $\text{[math]}$ absin∠C，

即S_△_ABC= $\text{[math]}$ absin∠C

同理S_△_ABC= $\text{[math]}$ bcsin∠A

S_△_ABC= $\text{[math]}$ acsin∠B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则

a²=b²+c²﹣2bccos∠A

b²=a²+c²﹣2accos∠B

c²=a²+b²﹣2abcos∠C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S_△_DEF和DE² ．

解：S_△_DEF= $\text{[math]}$ EF×DFsin∠F=；

DE²=EF²+DF²﹣2EF×DFcos∠F=．

如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄ ，求证：S₁+S₂=S₃+S₄ ．

综合题困难