已知函数和有相同的最小值.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有相同的最小值.

(1) 求a；

(2) 证明：存在直线 $\text{[math]}$ ，其与两条曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【考点】

指数式与对数式的互化; 利用导数研究函数的单调性; 导数在最大值、最小值问题中的应用; 等差数列概念与表示;

【答案】

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解答题困难

1. 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，有不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 求证： $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．

假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，且对于运算“ $\text{[math]}$ ”， $\text{[math]}$ 表示坐标为 $\text{[math]}$ 的点．若点U ， V ， W满足 $\text{[math]}$ ，则称V与U相似，记作V~U ．若存在单调函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对于 $\text{[math]}$ 图像上任意一点T ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 图像上，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．

(1) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且N~M ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 证明：若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．设R~S ，且 $\text{[math]}$ ．

证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难